Вариант решения.
Примем длину сторон ∆ АВС равными: АВ=9, ВС=6, АС=5.
АВ² > АС²+ВС² ⇒ ∆ ABC тупоугольный с тупым углом С.
Тело вращения образуется при вращении треугольника вокруг АС.
Искомая площадь состоит из суммы площадей боковых поверхностей конуса с образующей АВ и конуса с образующей ВС и общим радиусом ВО.
Радиус ОВ - высота ∆ АОВ, проведенная к продолжению АС. Найдем её из площади ∆ АВС.
По ф. ГеронаS ABC=√(p•(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, a, b, c- его стороны.
р=(5+9+6):2=10
S (∆АВС)=√(10•5•4•1)=√200=10√2,
По формуле S=a•h:2
BO•AC:2=10√2
OB=2S:AC=20√2:5=4√2
r=OB=4√2
Пусть полная площадь тела вращения=S, площадь боковой поверхности конуса с образующей АВ=S1, с образующей ВС=S2
S=S1+S2
S1=πrL=π4√2•9=36√2π см²
S2=π4√2•6=24√2π см²
S=60√2π см²
Объём тела, образованного вращением ∆ АВС вокруг стороны АС, равен разности объёмов конуса с образующей АВ и конуса с тем же радиусом и образующей ВС.
Примем объем конуса с образующей АВ =V1, объём конуса с образующей СВ=V2, объем тела вращения =V
V=V1-V2
По т.Пифагора АО=√(AB²-OB²)=√(81-32)=√49=7
CO=AO-AC=2
V1=πr*•h:3=π•32•7:3=224π/3 см³
V2=π•32•2:3=64π/3 см³
V=π•(224-64)/3=160π/3 см³