Помогите!!! (y^2-x^2)*y'+2*x*y=0

В принципе это уравнение с однородной правой частью (иногда его называют еще однородным) и решается оно с помощью замены y=ux. Но это скучно. Попробуем его решить красиво. Вспоминаем, что y'=dy/dx, и домножаем уравнение на dx:

$(y^2-x^2)dy+2xydx=0;\ y^2dy-x^2dy+ydx^2=0;$

делим уравнение на $y^2$ (при этом может быть потеряно решение y=0; убеждаемся в том, что оно действительно потеряно. В конце надо будет не забыть добавить его):

$dy+\frac{ydx^2-x^2dy}{y^2}=0; \ dy+d\frac{x^2}{y}=0;\ d(y+\frac{x^2}{y})=0; y+\frac{x^2}{y}=C;\$

Ответ: $\left [{{y^2+x^2=Cy} \atop {y=0}} \right.$

Замечание. При C=0 получается сумма квадратов равна нулю, то есть x=0 и y=0. Точка не может служить графиком решения, поэтому $C\not=0.$ Делим левую и правую часть на C и обозначаем $\frac{1}{C}=C_1\not=0.$ Получаем ответ в виде $\left [ {{y=C_1(x^2+y^2);\ C_1\not=0} \atop {y=0}} \right.$

Видим, что теперь потерянное решение y=0 вписывается в общее решение, если снять ограничение $C_1\not=0.$

Поэтому ответ может быть записан в виде $y=C(x^2+y^2)$