Образует ли метрику ** числовой прямой функция: ρ(x, y) = |sin(x − y)| ? Задает ли...

Question 1

Образует ли метрику на числовой прямой функция: ρ(x, y) = |sin(x − y)| ?
Задает ли функция x → f(x) норму на множестве f(x) = ln(1 + |x|) на числовой прямой ?
Задает ли скалярное произведение (x,y) = 2x^2 +2y^2 на числовой прямой ?

Question 2

По поводу метрики (да будет являтся метрикой, т.к. выполняется три условия метрики)

Question 3

Спасибо

Question 4

1)
ρ(x, y) = |sin(x − y)|

Нарушается аксиома тождества:
Должно быть:
$\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
Для данной функции:
$\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y + \pi k,\, k \in \mathbb{Z}$

2)
f(x) = ln(1 + |x|)

Должно быть:
$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
Например, при $x=e-1 \,\,\,(\ \textgreater \ 0)\\\lambda = 2$
$f(\lambda x)=ln(2e-1)\\ |\lambda|f(x)=2\, ln(e)=2=ln(2e)\\ln(2e)\neq ln(2e-1)$

3)
$(x,y) = 2x^2 +2y^2$

Скалярное произведение должно быть линейно по первому аргументу.

Например,
$(2x,y)=2(4x^2)+2y^2=8x^2+2y^2\\ 2(x,y)=4x^2+4y^2\\(2x,y)=2(x,y)\\4x^2=2y^2$

Выполняется явно не для всех действительных x и y

ProGroomer_zn · Answer 1 · 2018-05-15T15:28:34+0000

1)
ρ(x, y) = |sin(x − y)|

Нарушается аксиома тождества:
Должно быть:
$\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
Для данной функции:
$\rho(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y + \pi k,\, k \in \mathbb{Z}$

2)
f(x) = ln(1 + |x|)

Должно быть:
$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$
Например, при $x=e-1 \,\,\,(\ \textgreater \ 0)\\\lambda = 2$
$f(\lambda x)=ln(2e-1)\\ |\lambda|f(x)=2\, ln(e)=2=ln(2e)\\ln(2e)\neq ln(2e-1)$

3)
$(x,y) = 2x^2 +2y^2$

Скалярное произведение должно быть линейно по первому аргументу.

Например,
$(2x,y)=2(4x^2)+2y^2=8x^2+2y^2\\ 2(x,y)=4x^2+4y^2\\(2x,y)=2(x,y)\\4x^2=2y^2$

Выполняется явно не для всех действительных x и y