Как выводится формула нахождения вершины параболы x=-b/2a , где x-координата х вершины...

Question

Как выводится формула нахождения вершины параболы x=-b/2a ,
где x-координата х вершины параболы, a и b коэффициенты уравнения ax^2+bx+c ?

Answer 1

1. Выведем формулу через производную:
y = ax² + bx + c
y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b
2ax + b ≥ 0 
2ax ≥ -b
Если a > 0, то x ≥ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка минимума.
Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение.
Если a < 0, то x ≤ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка максимума.
Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.

2. Выделим полный квадрат:
y = ax² + bx + c
y = (ax² + bx) + c
y = a(x² + bx/a) + c
y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c
y = a(x + b/2a)²  + (4ac - b²)/4a
Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l
В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a.
Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.
Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение. 

Answer 2

Вершина параболы квадратного уравнения – это самая высокая или самая низкая ее точка.

   Рассмотрим многочлен  ax2 + bx + c, где a, b, c – коэффициенты, причем aне равно нулю. Его обычно называют квадратным трёхчленом , а графиком функции является парабола. Осью параболы y = ax2 + bx + c служит прямая x= - b/2a (1) . По этой же формуле вычисляется абсцисса x0вершины параболы. Формулу для нахождения ординаты y0 вершины параболы запоминать не нужно, так как если известна абсцисса, то всегда по формуле y0=f(x0)  можно вычислить ординату. 

Для х вершины параболы есть специальная формула: Х0= -b/2a , где b - коэффициент перед х в формуле параболы                ( ax^2+bx+c)    где а - коэффициент перед x^2  , знак минус перед b говорит, что нужно поменять знак коэффициента, вставляя b в формулу (т.е дана такая парабола x^2+6x+5,  значит вместо - b мы вставляем -6)  координата вершины параболы по оси y ищется проще. Полученное х0 подставляется вместо х в формуле параболы