Укажите все значения параметра a , при каждом из которых хотя бы один корень уравнения ...

Найдем дискриминант квадратного уравнения

$D=(4(2a+1))^2-4a(16a+11)=16(4a^2+4a+1)-4a(16a+11)=\\ =64a^2+64a+16-64a^2-44a=20a+16$

Найдем корни

$\displaystyle x_{1,2}= \frac{4(2a+1)\pm2 \sqrt{5a+4} }{2a}= \frac{4a+2\pm \sqrt{5a+4} }{a}$

хотя бы один корень больше равно 2, это возможно так)

$\displaystyle \left \{ {{\frac{4a+2+ \sqrt{5a+4} }{a} \geq 2} \atop {\frac{4a+2- \sqrt{5a+4} }{a} \ \textless \ 2 }} \right. \Rightarrow \left \{ {{a\ \textgreater \ 0} \atop {a\in [- \frac{4}{5};- \frac{3}{4} )}} \right. \Rightarrow \m\m \O$

и

$\displaystyle \left \{ {{\frac{4a+2- \sqrt{5a+4} }{a} \geq 2 } \atop {\frac{4a+2+\sqrt{5a+4} }{a} \ \textless \ 2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a\in(- \frac{3}{4};0)\cup(0;+\infty) } \atop {a\in [- \frac{4}{5};0) }} \right. \Rightarrow a\in\bigg(- \frac{3}{4};0\bigg)$

Проверим при а=0 и при а = -3/4

Если a=0, то -4х+11=0 откуда х=11/4 >2

Если a=-3/4, то 3x²-8x+4=0 откуда x1 = 2/3 <2 и х2 = 2 =>2

D≥0; 20a+16≥0 откуда a≥-4/5

Общее $\bigg[- \dfrac{3}{4};+\infty\bigg)$

Ответ: $\bigg[- \dfrac{3}{4};+\infty\bigg)$