5. У трикутнику ABC, площа якого дорівнює 18 м2, проведено відрізки ВЕ та АД, причому...

Question

5. У трикутнику ABC, площа якого дорівнює 18 м2, проведено відрізки ВЕ та АД, причому точки Е і Д лежать відповідно на сторонах АС та ВС і ділять їх у відношенні АЕ:ЕС=3:4 та ВД:ДС=2:7. Знайти площу чотирикутника СЕМД, де М – точка перетину відрізків ВЕ та АД.

Answer 1

Примем треугольник АВС с основанием АС = 7 м.
Поместим его в прямоугольную систему координат точкой А в начало и точкой С на оси Ох.
Высота его будет равна: h = 2S/AC = 2*18/7 = (36/7) ≈  5,1429 м.
Любой треугольник с вершиной В на этой высоте будет иметь площадь 18 м².
Для удобства решения примем точку В с абсциссой х = 3.
Тогда ВЕ = h - это высота треугольника АВС.
Находим длину ВС:
ВС = √(ЕС² + h²) = √(16+(1296/49)) = √(2080/49) ≈ 6,515288 м.
Найдём координаты точки Д по условию заданной пропорции ВД:ДС = 2:7.
Хд = 3 + (4*(2/9) = 35/9 ≈ 3,88889.
Уд = h*(7/9) = (36/7)*(7/9) = 4.
Уравнение АД: у = (4/(35/9))х = (36/35)х ≈ 1,02857х.
Координаты точки М: х = 3,
                                    у =  (36/35)*3 = 108/35 = 3,085714.
Теперь находим искомую площадь СЕМД.
Sсемд = 18 - (18*2/9) - ((1/2)*3*3,085714) = 9,37143 м².