** стороне ВС треугольника ABC выбрана точка Т и через нее проведены прямые ТМ и ТР,...

Question

На стороне ВС треугольника ABC выбрана точка Т и через нее проведены прямые ТМ и ТР, параллельные соответственно прямым АС и АВ {М е АВ; Р е АС). Площадь треугольника ВМТ равна S1, а площадь треугольника ТРС — S2. Найдите: а) площадь треугольника ABC; б) площадь параллелограмма AMТР.

Answer 1

Углы при основаниях треугольников MBT, PTC, ABC равны как соответственные при параллельных прямых MT и AC. Треугольники подобны, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия.

S1/S2= (MT/PC)^2
S(ABC)/S2= (AC/PC)^2

AMТР - параллелограмм, AP=MT
AC=AP+PC=MT+PC

S(ABC)/S2= ((MT+PC)/PC)^2 = (1 +MT/PC)^2 = 1 +2MT/PC +(MT/PC)^2 <=> 
S(ABC)/S2= 1 +2√(S1/S2) +S1/S2 <=>
S(ABC)= S1 +S2 +2√(S1*S2)

S(AMТР)= S-S1-S2 =2√(S1*S2)

---

Comments

На всякий случай:
S2 *2√(S1/S2) =2 *√S2 *√S2 *√S1/√S2=
=2 *√S2 *√S1 =2√(S1*S2)