Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y^2=x,y=>0,x=1,x=4

$y^2=x$ - это парабола (лежачая), ветви вправо, вершина в (0,0).
$y\geq 0$ - верхняя полуплоскость вместе с осью ОХ .
х=1 и х=4 - прямые, перпендикулярные оси ОХ.

$y^2=x\; \; \Rightarrow \; \; \; y=\pm \sqrt{x}$

Так как в верхней полуплоскости $y\geq 0$ , то берём знак + перед корнем .

$S= \int\limits^4_1 \, \sqrt{x}\, dx = \frac{2x^{3/2}}{3} \Big |_1^4= \frac{2\sqrt{x^3}}{3}\Big |_1^4= \frac{2}{3}\cdot (\sqrt{4^3}-\sqrt{1^3} )=\\\\= \frac{2}{3} \cdot (2^3-1)= \frac{2}{3} \cdot (8-1)=\frac{14}{3}=4\frac{2}{3}$