Xy'''+y''=x+1 найти решение дифференциального уравнение

Это дифференциальное уравнение третьего порядка независящее явным образом от неизвестной функции у. Тогда порядок производной может быть понижен с помощью следующей замены

Пусть $y''=z(x)\\ y'''=z'(x)$

Тогда имеем

$xz'+z=x+1$

Перейдем к дифференциалам

$x\cdot \dfrac{dz}{dx} +z=x+1$

Представим левую часть уравнения в следующем виде:

$\displaystyle x\cdot \frac{dz}{dx} + z\cdot\frac{dx}{dx} =x+1$

По свойству дифференциала произведения

$\displaystyle \frac{d(x\cdot z)}{dx}=x+1\\ \\ \\ d(x\cdot z)=(x+1)dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$xz= \dfrac{x^2}{2} +x+C_1\\ \\\\ z= \dfrac{x}{2} +1+ \dfrac{C_1}{x}$

Выполним обратную замену

$y''= \dfrac{x}{2} +1+ \dfrac{C_1}{x}$

интегрируя почленно два раза, получаем

$\displaystyle y'= \frac{x^2}{4} + C_1\ln|x|+x+C_2\\ \\ \\ \boxed{y= \frac{x^3}{12} + \frac{x^2}{2} -C_1x+C_1x\ln|x|+C_2x+C_3}$

Нашли общее решение.