√(21 + x) - √(21 - x) 21
------------------------------ = ---------
√(21 + x) + √(21 - x) x
ОДЗ
x ≠ 0
21 + x ≥ 0 ⇒ x ≥ -21
21 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 21
Приводим к общему знаменателю
x *(√(21 + x) - √(21 - x)) 21 * (√(21 + x) + √(21 - x))
------------------------------------- = ---------------------------------------------
x * (√(21 + x) + √(21 - x)) x * (√(21 + x) + √(21 - x))
Если у равных дробей равны знаменатели, то равны числители
x *(√(21 + x) - √(21 - x)) = 21 * (√(21 + x) + √(21 - x))
x√(21 + x) - x√(21 - x) = 21√(21 + x) + 21√(21 - x)
x√(21 + x) - 21√(21 + x) = 21√(21 - x) + x√(21 - x)
(x - 21) * √(21 + x) = (x + 21) * √(21 - x)
Вносим множитель под знак корня
√((x - 21)² * (21 + x)) = √((x + 21)² * (21 - x))
Возводим обе части уравнения в квадрат.
(x - 21)² * (21 + x) = (x + 21)² * (21 - x)
(x - 21)* (x - 21) * (x + 21) = (x + 21) * (x + 21) * (x - 21) * (-1)
Разделить обе части уравнения на (21 + x) или (21 - х) или (х - 21) нельзя, т.к. ОДЗ допускает, что (21 + x) или (21 - х) или (х - 21) может быть равно 0. Открываем скобки. Сначала используем формулу разности квадратов (формулы сокращенного умножения)
(x - 21) * (x² - 441) = (-1) * (x + 21)(x² - 441)
x³ - 441x - 21x² + 9261 = -1 * (x³ - 441x + 21x² - 9261)
x³ - 21x² - 441x + 9261 = -x³ - 21x² + 441x + 9261
2x³ - 21x² + 21x² - 441x - 441x + 9261 - 9261 = 0
2x³ - 882x = 0
Делим обе части уравнения на X, т.к. согласно ОДЗ Х ≠ 0
2x² - 882 = 0
x² - 441 = 0
x² = 441
x = √441
x₁ = 21 (отвечает ОДЗ)
x₂ = -21 (отвечает ОДЗ)
Проверка1
√(21 + 21) - √(21 - 21) 21
------------------------------ = ---------
√(21 + 21) + √(21 - 21) 21
√42 - √0
-------------- = 1
√42 + √0
√42 / √42 = 1
1 = 1
------------------------------------------------------------------------------------------------
Проверка2
√(21 + (-21)) - √(21 - (-21)) 21
-------------------------------------- = ---------
√(21 + (-21)) + √(21 - (-21)) -21
√(21 - 21) - √(21 + 21) 21
-------------------------------- = ---------
√(21 - 21) + √(21 + 21) -21
√0 - √42
--------------- = -1
√0 + √42
- √42
------------ = -1
√42
-1 = -1