Помогите!!!!желательно с решением

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$2^\big{\log^2_{0.5} x}+x^\big{\log_{0.5} x}-2.5\ \textgreater \ 0$

рассмотрим функцию:
$f(x)=2^\big{\log^2_{0.5} x}+x^\big{\log_{0.5} x}-2.5$

Область определения функции x>0
$D(f)=(0;+\infty)$

Приравниваем функцию к нулю

$2^\big{\log^2_{0.5} x}+x^\big{\log_{0.5} x}-2.5=0$

Представим второе слагаемое в левой части уравнения в следующем виде:

$2^\big{\log^2_{0.5} x}+0.5^\big{\log_{0.5} x^{\log_{0.5}x}}-2.5=0\\ \\ 2^\big{\log^2_{0.5} x}+0.5^\big{\log_{0.5} x\cdot\log_{0.5} x}-2.5=0\\ \\ 2^\big{\log^2_{0.5} x}+0.5^\big{\log^2_{0.5} x}-2.5=0$

Пусть $2^\big{\log^2_{0.5} x}=t(t\ \textgreater \ 0)$ , тогда получим

$t+ \frac{1}{t}-2.5=0|\cdot(2t\ne 0)\\ 2t^2-5t+2=0 \\D=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$
D>0, значит квадратное уравнение имеет 2 корня.

$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5+3}{2\cdot2} =2\\ \\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{5-3}{2\cdot2}=0.5$

Обратная замена

$2^\big{\log^2_{0.5} x}=0.5\\ \log^2_{0.5} x=-1$

Уравнение решений не имеет, т.к. левая часть уравнения принимает неотрицательные значения,а правая - отрицательное число.

$2^\big{\log^2_{0.5} x}=2\\ \\ \log^2_{0.5} x=1\\ \\ \log_{0.5 }x=\pm 1$

откуда $x_1=0.5;\,\,\,\,\,\,\,\,\, x_2=2$

Ответ: $x \in (0;0.5)\cup(2;+\infty)$

аноним 15 Май, 18