Переведём 78 метров в сантиметры: 78 м = 7800 см.
Пусть х - число частей длиной 12 см, а у - число частей длиной 15 см.
Это приводит к такому уравнению: 12х + 15у = 7800.
Уравнение одно, а неизвестных два, но зато это целые числа.
Решать будем методом спуска. Но сначала найдём наибольший общий делитель чисел 12 и 15, это будет 3. Число 7800 тоже делится на 3, поэтому сокращаем всё уравнение на 3:
4х + 5у = 2600
Выразим икс через игрек: х = (2600 - 5у)/4
Выделим целую часть: х = 2600/4 - 5у/4 = 650 - у - у/4 = 650 - у - у/4
Т.к. x число целое, то (у/4) должно делиться на 4. Введём новую переменную z, чтобы было видно, что (y) делится на 4 без остатка:
у = 4z.
Теперь надо возвратиться назад для икса, для чего в выражение для икса подставим игрек:
x = 650 - y - y/4 = 650 - 4z - 4z/4 = 650 - 5z
Итак, мы только что получили общее решение нашего уравнения:
x = 650 - 5z
y = 4z
где z ∈ Z, любое целое число.
Однако у нас конкретная задача, из которой следует, что x и y должны быть не только целыми числами, но и не отрицательными.
А это возможно только при 0 ≤ z ≤ 130.
Из выражения для икса получаем верхнюю границу: x = 650 - 5z ≥0; z ≤ 130.
Из выражения для игрек получаем нижнюю границу: y = 4z ≥0; z ≥ 0.
Итак, конкретные значения x и y получаем из соответствующих формул путём подстановки в них значений z от 0 до 130.
Проверяем для z = 3:
x = 650 - 5*3 = 650 - 15 = 635
y = 4 * 3 =12
12 * 635 + 15 * 12 = 7620 + 180 = 7800. Всё верно.