Решите уравнение срочно корень 3 степени из(x+6) + квадратный корень из (11-x)=5

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\sqrt[3]{x+6} +\sqrt{11-x}=5$
делаем замены:
$\\\sqrt[3]{x+6}=v \\\sqrt{11-x}=u$
значит:
$v^3=x+6 \\u^2=11-x,\ u \geq 0$
составляем систему:
$\\v^3=x+6 \\u^2=11-x \\v+u=5$
складываем первые два уравнения и получаем:
$\left \{ {{v^3+u^2=17} \atop {v+u=5}} \right. \\u=5-v \\v^3+(5-v)^2=17 \\v^3+v^2-10v+25=17 \\v^3+v^2-10v+8=0$
решаем данное уравнение:
по теореме безу корнями данного уравнения могут быть делители свободного члена.
подбираем 1 корень:
v=1
1+1-10+8=0 - верно, значит v=1 - первый корень
делим уравнение на (v-1).
можно делить по схеме горнера или в столбик.
делим в столбик:
v^3+v^2-10v+8|v-1
-v^3+v^2 |-------
--------------------| v^2+2v-8
2v^2-10v+8
-2v^2+2v
---------------------
-8v+8
8v-8
--------------------
0
получим:
$(v-1)(v^2+2v-8)=0 \\v^2+2v-8=0 \\D=4+32=36=6^2 \\v_2= \frac{-2+6}{2}=2 \\v_3=-4 \\u_1=5-1=4 \\u_2=5-2=3 \\u_3=5+4=9$
подставляем:
$v^3=x+6 \\x=v^3-6 \\v=1;\ x=-5 \\v=2;\ x=8-6=2 \\v=-4;\ x=-64-6=-70 \\u^2=11-x \\x=11-u^2 \\u=4;\ x=11-16=-5 \\u=3;\ x=11-9=2 \\u=9;\ x=11-81=-70$
значит данное уравнение имеет 3 корня.
Ответ: -5; 2; -70

AnonimusPro_zn (149k баллов) 15 Май, 18

sedinalana_zn · Answer 1 · 2018-05-15T16:31:12+0000

∛(x+6)+√(11-x)=5
ОДЗ
11-x≥0⇒x≤11
x∈(-∞;11]
∛(x+6)=a⇒a³=x+6,√(11-x)=b⇒b²=11-x
{a+b=5
{a³+b²=17
выразим из 1 уравнения b и подставим во 2
b=5-a
a³+(5-a)²=17
a³+25-10a+a²-17=0
a³+a²-10a+8=0
(a³-a²)+(2a²-2a)-(8a-8)=0
a²(a-1)+2a(a-1)-8(a-1)=0
(a-1)(a²+2a-8)=0
(a-1)[(a²+4a)-(2a+8)]=0
(a-1)[a(a+4)-2(a+4)]=0
(a-1)(a+4)(a-2)=0
a1=1⇒b1=5-1=4
a2=-4⇒b2=5+4=9
a3=2⇒b3=5-2=3
1)a=1 U b=4
∛(x+6)=1 U √(11-x)=4
x+6=1 U 11-x=16
x=-5 U x=-5
x=-5 корень
2)a=-4 U b=9
x+6=-64 U 11-x=81
x=-70 U x=-70
x=-70 корень
3)a=2 U b=3
x+6=8 U 11-x=9
x=-2 U x=2
x=2 корень
Ответ x={-70;-5;2}