Доказать неравенство при n ∈ N
Воспользуемся неравенством Коши Что и требовалось доказать
Спасибо <3
Неравенство Коши — Буняковского :
![\displaystyle \frac{1}{n} \bigg( \frac{n+1}{n} +\frac{n+2}{n+1} +...+\frac{2n}{2n-1} \bigg)\ \textgreater \ \sqrt[n]{ \frac{n+1}{n}\cdot \frac{n+2}{n+1}\cdot...\cdot \frac{2n}{2n-1} } =\sqrt[n]{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D+%5Cbigg%28+%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D+%2B%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7Bn%2B1%7D+%2B...%2B%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n-1%7D+%5Cbigg%29%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5Csqrt%5Bn%5D%7B+%5Cfrac%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D%5Ccdot+%5Cfrac%7Bn%2B2%7D%7Bn%2B1%7D%5Ccdot...%5Ccdot+%5Cfrac%7B2n%7D%7B2n-1%7D+++%7D++%3D%5Csqrt%5Bn%5D%7B2%7D+ "\displaystyle \frac{1}{n} \bigg( \frac{n+1}{n} +\frac{n+2}{n+1} +...+\frac{2n}{2n-1} \bigg)\ \textgreater \ \sqrt[n]{ \frac{n+1}{n}\cdot \frac{n+2}{n+1}\cdot...\cdot \frac{2n}{2n-1} } =\sqrt[n]{2}")