Solve y''+3y'+2y=e^-2x using D operator

$y''+3y'+2y=e^{-2x}$

Решение: Запишем операторное уравнение
где y(x)*D=y', y(x)*D^2=y"

$y(x)*D^2 + 3y(x)*D + 2y(x) = e^{-2x}$

$y(x)(D^2 + 3D + 2) = e^{-2x}$

$y(x)(D+2)(D + 1) = e^{-2x}$

$y(x) = \frac{1}{(D+2)(D + 1)}*e^{-2x}$

Применям правило

$\frac{1}{M_1(D)*M_2(D)}f(x)= \frac{1}{M_1(D)}* \frac{1}{M_2(D)}f(x)$

$y(x) = \frac{1}{D+2}*\frac{1}{D + 1}*e^{-2x}$

Применяем правило

$\frac{1}{M(D)}e^{\lambda*x}= \frac{1}{M(\lambda)}e^{\lambda*x},(M(\lambda) \neq 0)$

$y(x) = \frac{1}{D+2}*\frac{1}{-2+ 1}*e^{-2x}$

$y(x) = \frac{1}{D+2}*(-1)*e^{-2x}$

$y(x) = -\frac{1}{D+2}*e^{-2x}$

Применяем правило

$\frac{1}{M(D)}e^{\lambda*x}*g(x)= e^{\lambda*x}* \frac{1}{M(D+\lambda)}*g(x)$

У нас g(x)=1

$y(x) = -e^{-2x}\frac{1}{D+2-2}*1$

$y(x) = -e^{-2x}\frac{1}{D}*1$

Применяем правило

$\frac{1}{D}*g(x)= \int\limits {gx} \, dx$

$\frac{1}{D}*1= \int\limits {} \, dx=x$

Следовательно искомая функция равна

$y(x) = -xe^{-2x}$

Проверка

$y'(x) = 2xe^{-2x}-e^{-2x}$

$y''(x) = -4xe^{-2x}+2e^{-2x}+2e^{-2x}=-4xe^{-2x}+4e^{-2x}$

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение

$y''+3y'+2y=-4xe^{-2x}+4e^{-2x}+3(2xe^{-2x}-e^{-2x})+2(-xe^{-2x})=$ $-4xe^{-2x}+4e^{-2x}+6xe^{-2x}-3e^{-2x}-2xe^{-2x}=e^{-2x}$

Следовательно решение правильное.

Ответ: y=-x*e^(-2x)