Решите уравнение. Все возможные корни. Скорее всего они будут "некрасивые"....

$x^4 + x^{x \sqrt{2} } + 1 = 0 \\ -x^4 - 1 = x^{x \sqrt{2} }$
Пусть $y = -x^4 - 1 \ \ and \ \ y = x^{x \sqrt{2} }$
Рассмотри сначала первую (степенную функцию).
График этой функции расположен ниже оси Ox, причём y = -1 - наибольшее её значение.
Теперь рассмотрим показательную функцию. График этой функции расположен выше оси Ox, т.к. x > 0 (основание не может быть меньше нуля).
Таким образом, графики функций не пересекаются, значит, корней нет.
Ответ: нет корней.