Строим в полярных координатах, во!
![\displaystyle
x = R\cos\varphi\\
y = R\sin\varphi\\\\
\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n} = R\sqrt[n]{|\cos\varphi|^n+|\sin\varphi|^n}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0Ax+%3D+R%5Ccos%5Cvarphi%5C%5C%0Ay+%3D+R%5Csin%5Cvarphi%5C%5C%5C%5C%0A%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7Cx%7C%5En%2B%7Cy%7C%5En%7D+%3D+R%5Csqrt%5Bn%5D%7B%7C%5Ccos%5Cvarphi%7C%5En%2B%7C%5Csin%5Cvarphi%7C%5En%7D "\displaystyle
x = R\cos\varphi\\
y = R\sin\varphi\\\\
\sqrt[n]{|x|^n+|y|^n} = R\sqrt[n]{|\cos\varphi|^n+|\sin\varphi|^n}")
Будем анализировать первую координатную четверть, так как достаточно очевидно что кривулька будет симметрична относительно обеих осей (замена х на минус х или у на минус у ни на что не влияет)
Поэтому косинус и синус считаем положительными
![\displaystyle
R\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = 1\\\\
R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0AR%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Ccos%5En%5Cvarphi%2B%5Csin%5En%5Cvarphi%7D+%3D+1%5C%5C%5C%5C%0AR%28%5Cvarphi%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Ccos%5En%5Cvarphi%2B%5Csin%5En%5Cvarphi%7D%7D "\displaystyle
R\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = 1\\\\
R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}}")
На самом деле замена y и x местами тоже ничего не меняет, поэтому мы даже ограничимся рассмотрением только половинки первой координатной четверти, в которой фи от 0 до пи/4. Потом мы получившийся огрызок кривой отразим относительно биссектрисы первого квадранта: если точка (x,y) подходит, то и точка (y,x) подойдет
Будем кусать предел
![\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+\tan^n\varphi}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Ccos%5En%5Cvarphi%2B%5Csin%5En%5Cvarphi%7D+%3D+%5Ccos%5Cvarphi%5Cdisplaystyle+%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B1%2B%5Ctan%5En%5Cvarphi%7D "\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{1+\tan^n\varphi}")
Тангенс фи меньше 1 (фи меньше пи на 4), подкоренное выражение устремится к единице (сверху) и извлекание из этого числа корней огромной степени только устремит все к единице. Если фи равен пи на 4, подкоренное выражение всегда двойка, но и из нее при извлечении корня огромной степени выйдет единичка. Поэтому весь последний предел (в половинке первой четверти) стремится единичке, умножается на косинус фи и в итоге при фи от нуля до пи на 4 мы получаем следующую фишку
![\displaystyle
\varphi \in [0;\pi/4]\\
\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\\\\
R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}} = \frac{1}{\cos\varphi}\\\\
x(\varphi) = R\cos\varphi = 1\\
y(\varphi) = R\sin\varphi = \tan\varphi](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%0A%5Cvarphi+%5Cin+%5B0%3B%5Cpi%2F4%5D%5C%5C%0A%5Cdisplaystyle+%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Ccos%5En%5Cvarphi%2B%5Csin%5En%5Cvarphi%7D+%3D+%5Ccos%5Cvarphi%5C%5C%5C%5C%0AR%28%5Cvarphi%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clim%5Climits_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Csqrt%5Bn%5D%7B%5Ccos%5En%5Cvarphi%2B%5Csin%5En%5Cvarphi%7D%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5Cvarphi%7D%5C%5C%5C%5C%0Ax%28%5Cvarphi%29+%3D+R%5Ccos%5Cvarphi+%3D+1%5C%5C%0Ay%28%5Cvarphi%29+%3D+R%5Csin%5Cvarphi+%3D+%5Ctan%5Cvarphi "\displaystyle
\varphi \in [0;\pi/4]\\
\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi} = \cos\varphi\\\\
R(\varphi) = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\cos^n\varphi+\sin^n\varphi}} = \frac{1}{\cos\varphi}\\\\
x(\varphi) = R\cos\varphi = 1\\
y(\varphi) = R\sin\varphi = \tan\varphi")
Итак, ставим карандашик на ось икс, на расстоянии 1 от начала координат и начинаем увеличивать фи от 0 до пи на 4. Икс так и останется на месте, а у поползет вверх и доползет до единички. Получилась вертикальная палочка. Теперь мы отразим ее относительно биссектрисы первого квадранта и получим горизонтальную палочку от точки (0;1) до точки (1;1). Получился уголочек. После этого отражаем уголочек относительно Ox и Oy
После тонны мучений мы получили, что все x и y, удовлетворяющие условию лежат на границе квадрата со стороной 2, центр которого находится в начале координат, а стороны которого параллельны осям
Это КВАДРАТИК!