Сумма S существует и конечна. Найдите ее.

Представим члены суммы в виде разности:
$S = (1- \frac{2}{3} )+( \frac{2}{3} - \frac{3}{3^2} )+( \frac{3}{3^2} - \frac{4}{3^3} )+( \frac{4}{3^3 } - \frac{5}{3^5} )+...+( \frac{n}{3^{n-1}} - \frac{n+1}{3^n}} )$
$S = 1 - \frac{2}{3} +\frac{2}{3} - \frac{3}{3^2} + \frac{3}{3^2} - \frac{4}{3^3} ....$
становится очевидно, что сократятся все слагаемые суммы, кроме $1$ и последнего слагаемого $- \frac{n+1}{3^n}}$ ⇒
$S = 1-\frac{n+1}{3^n}}$