Y'+ycos x=2cosx y(0)=4

$y'+(y-2)\cos x=0;\ (y-2)'=-(y-2)\cos x;\ y-2=p(x);$

$p'=-p\cos x -$ это линейное однородное уравнение; чтобы его решить, достаточно угадать ненулевое частное решение $p_1(x);$ общее решение будет иметь вид $p=Cp_1(x).$ Анализируем информацию. При взятии производной, функция p(x) не изменилась (так ведет себя показательная функция), но умножилась на $-\cos x,$ что есть производная $-\sin x.$ Поэтому в качестве $p_1(x)$ можно взять $p_1(x)=e^{-\sin x}\Rightarrow p=Ce^{-\sin x}.$ Отсюда $y=2+Ce^{-\sin x}$ . Остается найти решение, удовлетворяющее начальным условиям:

$\left \{ {{y=4} \atop {x=0}} \right. \Rightarrow$ $4=2+Ce^{0};\ C=2\Rightarrow y=2+2e^{-\sin x}$

Ответ: $y=2+2e^{-\sin x}$