Спасайте. Если можно с небольшими пояснениями типа ,,возводим в квадрат,, ,,вычислим...

Давайте-ка поработаем со знаменателем. в первую очередь заметим вот что:
$\sqrt{y+2 \sqrt{y+1} +2} = \sqrt{( \sqrt{y+1}+1)^} ^2}$
$\sqrt{y-2 \sqrt{y+1} +2} = \sqrt{( \sqrt{y+1}-1)^} ^2}$
⇒ мы можем извлечь корни. смотрим, что получается:
$\frac{2y+2}{\sqrt{y+1}+1+\sqrt{y+1}-1 } = \frac{2y+2}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y+1}} = \frac{2y+2}{2\sqrt{y+1}} = \frac{2(y+1)}{2\sqrt{y+1}} = \frac{y+1}{\sqrt{y+1}}$
все еще иррациональность в знаменателе, но вид у выражения стал гораздо более благопристойный. теперь, когда мы выполнили основные преобразования, предлагаю начать избавляться от иррациональности.
для этого домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{y+1}$
$\frac{y+1*\sqrt{y+1}}{\sqrt{y+1}*\sqrt{y+1}} = \frac{y+1*\sqrt{y+1}}{ \sqrt{y^2+2y+1} } =\frac{y+1*\sqrt{y+1}}{ \sqrt{(y+1)^2} }= \frac{y+1*\sqrt{y+1}}{ y+1 }$
теперь осталось немногое, "добьем" числитель: $\frac{y+1*\sqrt{y+1}}{ y+1 } = \frac{y \sqrt{y+1} + \sqrt{y+1} }{y+1} = \frac{ \sqrt{y+1} (y+1)}{(y+1)} = \sqrt{y+1}$