В правильном октаэдре есть три плоскости диагональной симметрии. На рисунке это АВСД, АЕСН и BEDH. Все они квадраты со стороной а.
Все грани октаэдра - правильные треугольники.
В треугольнике АВЕ ЕК - высота и медиана, точка Р - центр треугольника, значит ЕР:РК=2:1 ⇒ ЕР:ЕК=2:3.
РТ║КМ, значит треугольники ЕКМ и ЕРТ подобны. В них РТ/КМ=ЕР/ЕК=2/3,
РТ=2КМ/3=2а/3.
На втором рисунке изображена вершинная проекция из вершины Е на плоскость АВСД. Точки Р, R, T, S - центры боковых граней. Боковые грани - правильные треугольники, значит PRTS - квадрат и грань куба.
Сторона куба b=PS=PT/√2=a√2/3.
Рассмотрев проекции на другие диагональные сечения, сделав такие же построение, можно убедиться, что наш кубик действительно куб.
Можно доказать это по-другому (не обязательно).
Если предположить, что вписан действительно куб, то FO - половина его высоты.
ЕО²=ЕК²-КО²=3а²/4-а²/4=а²/2,
ЕО=а/√2=а√2/2.
В подобных треугольниках EPT и EKM FO=EO/3=а√2/6.
Высота кубика: 2FO=a√2/3=b. Доказано.
Объём октаэдра: Vo=2·Sh/3=2·AB²·EO/3=2a²·a√2/6=a³√2/3.
Объём куба Vк=b³=2a³√2/27.
Vo:Vк=а³√2·27/(2а³√2·3)=9/2=9:2.
Соответственно отношение объёма хрустальной и серебряной частей 7:2 - это ответ.
