Y'=x/y+y/x решить диф.ур.

Убедимся что данное дифференциальное уравнение является однородным. Для этого воспользуемся условием однородности
$y'= \dfrac{\lambda x}{\lambda y} + \dfrac{\lambda y}{\lambda x}$
Получаем
$y'= \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}$
То есть, данное уравнение - однородное.
Исходное уравнение перейдёт к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены:
$y=ux$ тогда $y'=u'x+u$
$u'x+u= \dfrac{x}{ux} + \dfrac{ux}{x} \\ \\ u'x+u= \dfrac{1}{u} +u\\ \\ u'x= \dfrac{1}{u}$
Получили уравнение с разделяющимися переменными
$\dfrac{du}{dx} \cdot x= \dfrac{1}{u} \\ \\ udu= \dfrac{dx}{x}$
Проинтегрируем обе части уравнения
$\displaystyle \int\limits {u} \, du= \int\limits { \dfrac{dx}{x} } \, \\ \\ u^2=2\ln x+C\\ u=\pm \sqrt{2\ln x+C}$

Обратная замена
$\dfrac{y}{x} =\pm \sqrt{2\ln x+C}$ - общий интеграл

$y=\pm x \sqrt{2\ln x+C}$ - общее решение.

Ответ: $y=\pm x \sqrt{2\ln x+C}$