Найдите обыкновенную дробь равную периодической дроби 0,(5)

Рассмотрим сначала число 0,(1), которое в 5 раз меньше нашего. Ясно, что если умножить его на 9, получится число 0,(9), которое равно 1. Значит, 0,(1)=1/9, а 0,(5)=5/9

Если такой способ кажется жульническим (хотя таковым он не является), можно решить задачу, используя известную формулу для суммы бесконечной убывающей геометрической последовательности.

$0,(5)=0,5+0,05+0,005+\ldots=0,5+0,5\cdot 0,1+0,5\cdot (0,1)^2+\ldots= \frac{0.5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$

Формула в общем виде такая:

$b_1+b_1\cdot q+b_1\cdot q^2+\ldots +b_1\cdot q^n+\ldots=\frac{b_1}{1-q}$

Формула верна в предположении, что |q|<1