Решить уравнение

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Вариант решения 1 (особенно если нужны комплексные корни)

$1+x+x^2+...+x^{2016}={x^{2017}-1\over x-1}=0\\ \left \{ {{x^{2017}=1} \atop {x\neq1}} \right.\ \\ \left \{ {{x=cos({2\pi k\over 2017})+i sin({2\pi k\over 2017})}, k\in \mathbb{Z} \atop {x\neq1}} \right. \\\\x=cos({2\pi k\over 2017})+i sin({2\pi k\over 2017}), k\in\mathbb{Z}\backslash\{k\in\mathbb{Z}|k\vdots2017\}$

Таким образом, действительные корни будут, если 2πk/2017 равно π+2πn, где n и k - целые. Но такого быть не может, поэтому действительных корней нет, а комплексные вычисляются по формуле, описанной выше.

Вариант 2 (если достаточно показать, что действительных корней нет)

Решим более общую задачу:
Покажем, что действительных корней уравнения
$1+x+...+x^{2n}=0,\,n\in\mathbb{N}$
нет.

База математической индукции:
n=1:
$1+x+x^2=0\\D=1-4=-3\ \textless \ 0$ - корней нет. (значение выражения в левой части всегда > 0)
Предположим, что при n=k у уравнения
$1+x+x^2+...+x^{2k}=0$
корней нет. (и значение выражения в левой части также > 0)
Докажем, что при n=k+1 у уравнения
${1+x+x^2+...+x^{2k+2}=0$
корней также нет.

Мы знаем, что
$1+x+x^2+...+x^{2k}\ \textgreater \ 0$
Чтобы было неверно то, что мы должны доказать необходимо, чтобы
$x^{2k+1}+x^{2k+2}\ \textless \ 0\Rightarrow x^{2k+1}(x+1)\ \textless \ 0\Rightarrow x\in(-1;0)$

$1+x+x^2+...+x^{2k+2}=\\=(1+x)+(x^2+x^3)+...+(x^{2k}+x^{2k+1})+x^{2k+2}$
При x∈(-1;0) выражение в каждой скобке >0, а также последнее слагаемое >0. Поэтому для любого натурального n и действительного x
$1+x+x^2+...+x^{2n}\ \textgreater \ 0$

Действительных корней нет. (В частности, при n=1008 - уравнение из условия)

ProGroomer_zn (18.9k баллов) 16 Май, 18