1. Дано: вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О. Угол ВАС=50°, дуга АВ:дугу АС=3:2. Найти углы ∠В, ∠С, ∠ВОС.
Вершины треугольника делят окружность на 3 дуги.
Углы треугольника - вписанные. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. . Вписанный угол ВАС=50° опирается на дугу ВС.
След. ∠ВОС=◡ ВС =100°.
Полная окружность содержит 360°.
◡АВ+◡АС=360°- ◡ВС=260°
Примем коэффициент отношения дуг равным а. Тогда
◡АВ:◡АС=3а:2а =5а
5а=260°
а=52°
◡АС=104°, ⇒ вписанный угол В опирается на неё и равен 52°
◡АВ=156°, ⇒ вписанный угол С опирается на нее и равен 78°
* * *
2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите CD, если АЕ=3 см, ВЕ=9 см, а СЕ в 4 раза длиннее DE.
Если две хорды пересекаются в некоторой точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
СЕ•DE=AE•BE
СЕ=4DE ⇒
4DE•DE=3•9
4DE²=27
DE=√27/4=3√3/2=1,5√3
CE=4•1,5√3=6√3
CD=1,5√3+6√3=7,5√3 см