В треугольник ABC вписана окружность , касающаяся сторон AB,BC,AC в точках P,Q,K...

Question

В треугольник ABC вписана окружность , касающаяся сторон AB,BC,AC в точках P,Q,K соответственно. Известно, что прямые PQ и AC параллельны. Докажите, что BK - медиана треугольника ABC.

Answer 1

BP=BQ как отрезки касательных, значит треугольник BPQ равнобедренный, т.е. ∠BPQ=∠BQP. Но т.к. PQ||AC, тo ∠BAC=∠BPQ и ∠BQP=∠BCA, т.е. треугольник ABC тоже равнобедренный и BA=BC. Значит PA=BA-BP=BC-BQ=QC. Но PA=AK и QC=CK как отрезки касательных, значит AK=CK, т.е. K - середина AC, что и требовалось.