Найти предел lim в числителе под корнем 3x/под корнем x^2+2минус другой корень 2-x^2 x стремится к 0
Домножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, чтобы воспользоваться формулой .
.
![\lim\limits _{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{2-x^2}} = \lim\limits _{x \to 0} \frac{3x\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{(x^2+2)-(2-x^2)} =\\\\= \lim\limits _{x \to 0} \frac{3x\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{2x^2} = \lim\limits _{x \to 0} \frac{3\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{2x} =[ \frac{3\cdot 2\sqrt2}{0} \; ]=\infty](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim%5Climits+_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B3x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2%2B2%7D-%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%7D+%3D+%5Clim%5Climits+_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B3x%5Ccdot+%28%5Csqrt%7Bx%5E2%2B2%7D%2B%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%29%7D%7B%28x%5E2%2B2%29-%282-x%5E2%29%7D+%3D%5C%5C%5C%5C%3D+%5Clim%5Climits+_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B3x%5Ccdot+%28%5Csqrt%7Bx%5E2%2B2%7D%2B%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%29%7D%7B2x%5E2%7D+%3D+%5Clim%5Climits+_%7Bx+%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7B3%5Ccdot+%28%5Csqrt%7Bx%5E2%2B2%7D%2B%5Csqrt%7B2-x%5E2%7D%29%7D%7B2x%7D+%3D%5B+%5Cfrac%7B3%5Ccdot+2%5Csqrt2%7D%7B0%7D+%5C%3B+%5D%3D%5Cinfty+ "\lim\limits _{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt{x^2+2}-\sqrt{2-x^2}} = \lim\limits _{x \to 0} \frac{3x\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{(x^2+2)-(2-x^2)} =\\\\= \lim\limits _{x \to 0} \frac{3x\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{2x^2} = \lim\limits _{x \to 0} \frac{3\cdot (\sqrt{x^2+2}+\sqrt{2-x^2})}{2x} =[ \frac{3\cdot 2\sqrt2}{0} \; ]=\infty")