Логарифмическое неравенство (не сходится с ответом). Красным цветом написан официальный...

Question

47 просмотров

Логарифмическое неравенство (не сходится с ответом). Красным цветом написан официальный ответ. Также красным цветом я выделил наиболее вероятную область с ошибкой. Помогите, пожалуйста, выяснить: там есть ошибка или нет, если есть, то в чём именно?

Математика james1401_zn (969 баллов) 16 Май, 18 | 47 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$log^2_2 (x^4-4x^2+4)+4log_2 (2x^2-4)-12 \geq 0$
ОДЗ

0" alt="x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="2x^2-4=2(x^2-2)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="x^2-2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
х є $(-\infty;-\sqrt{2}) \cup(\sqrt{2};+\infty)$

замена

0" alt="x^2-2=y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$log^2_2 y^2+4log_2 (2y) -12 \geq 0$
с учетом y>0 используем формулу логарифма степени и логарифма произведения
$4log^2_2 y+4*log_2 2+4log_2 y-12 \geq 0$
$4log^2_2 y+4*1+4log_2 y-12 \geq 0$
$4log^2_2y+4log_2 y-8 \geq 0$
замена

0" alt="log_2 y=t; y>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$4t^2+4t-8 \geq 0$
$t^2+t-2 \geq 0$ или $(t+2)(t-1) \geq 0$
квадратичное неравенство A=1>0 - значит ветви параболы верх
критические точки $t+2=0;t_1=-2;$
$t-1=0;t_2=1$
$t_1<t_2$
значит имеет решение t є $(-\infty;-2] \cup [1;+\infty)$
возврат к замене
1) $log_2 y \leq -2$
$y \leq 2^{-2}=\frac{1}{4}$
$0<x^2-2 \leq \frac{1}{4}$
х є $[-\frac{3}{2};-\sqrt{2}) \cup(\sqrt{2};+\frac{3}{2}]$
2) $log_2 y \geq 1$
$y \geq 2^1$
$y \geq 2$
возврат к замене
$x^2-2 \geq2$ ,

0" alt="x^2-2>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

2" alt="x^2-2>2" align="absmiddle" class="latex-formula">
$x^2-4 \geq0$
$(x-2)(x+2) \geq 0$
квадратичное неравенство A=1>0 - значит ветви параболы верх
критические точки $x+2=0;x_1=-2;$
$x-2=0;x_2=2$
$x_1<x_2$
значит имеет решение x є $(-\infty;-2] \cup[2;+\infty)$

x є $(-\infty;-2] \cup [-\frac{3}{2};-\sqrt{2}) \cup(\sqrt{2};+\frac{3}{2}] \cup[2;+\infty)$

dtnth_zn (408k баллов) 16 Май, 18