Z = 3x^2 - xy + 2y^2 - 5x - 3y + 4
Необходимое условие экстремума: производные обе равны 0
{ dz/dx = 6x - y - 5 = 0
{ dz/dy = 4y - x - 3 = 0
Умножаем 1 уравнение на 4
{ 24x - 4y - 20 = 0
{ -x + 4y - 3 = 0
Складываем уравнения
23x + 0y - 23 = 0
x = 1
y = 6x - 5 = 6 - 5 = 1
z(1, 1) = 3*1 - 1*1 + 2*1 - 5 - 3 + 4 = 0
Достаточное условие экстремума. Найдем вторые производные.
A = d2z/dx^2 = 6 > 0; B = d2z/dxdy = -1; C = d2z/dy^2 = 4
D = A*C - B^2 = 6 * 4 - (-1) = 25 > 0
Так как D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если бы было D > 0 и A < 0 - это была бы точка максимума.
Если бы было D < 0 - это вообще не был бы экстремум.
Ответ: M0(1; 1; 0) - точка минимума.