Вот, придумал еще одну "зарядку для хвоста" Дан прямоугольный треугольник. Высота к...

Question

Вот, придумал еще одну "зарядку для хвоста"

Дан прямоугольный треугольник.
Высота к гипотенузе делит его на два треугольника.
Найти радиусы вписанных окружностей в эти треугольники и в данный треугольник, если известно, что они есть целые числа и их величина минимальна.

Дерзайте! :)

Comments

То есть надо просмотреть список пифагоровых троек, и найти там такую (самую первую такую), у которой "катеты" одновременно являются "гипотенузами" других пифагоровых троек. Я вижу (15, 20, 25), у которого высота 12 режет его на два (16, 12, 20) и (9, 12, 20). радиусы 5 4 и 3. Собственно, если решать "с конца", то радиусы и должны образовывать минимальную примитивную пифагорову тройку.

---

Такие треугольники так можно генерировать. Например, тройка (5,12,13). у такого треугольника радиус вписанной окружности 2. Если взять как бы "квадрат" тройки, то есть 5*(5,12,13) 12*(5,12,13) 13*(5,12,13), то треугольники с такими размерами соответствуют условиям (кроме минимальности), а радиусы образуют тройку 2*(5,12,13)

---

если вы возьмете "резаный" треугольник 5,12,13, то один радиус =2, другой уже не есть целым числом, да и радиус первоначального треуг. далеко не целый. Да и не минимальные к тому же. . Единственно, если коэфф. взять кратный 5, тогда да, но самый маленький радиус уже будет=10....

---

ммм. я же написал всё.

---

знак * означает умножение, а запись 2*(5, 12, 13) это (10, 24, 26)

---

а, я просто не понял.

Answer 1

Введем обозначения:
r - радиус окружности, вписанной в большой треугольник,
r₁ - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r₂ - радиус окружности, вписанной в коричневый треугольник.

Будут использованы формулы:
h² = a₁b₁
a² = a₁c
b² = b₁c

Большой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = (√(a₁c) + √(b₁c) - √(c²))/2 = √c·( √a₁ + √b₁ - √c)/2

Синий треугольник:
r₁ = (a₁ + h - a)/2 = (√(a₁)² + √(a₁b₁) - √(a₁c))/2 = √a₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

Коричневый треугольник:
r₂ = (h + b₁ - b) /2 = (√(a₁b₁) + √(b₁)² - √(b₁c))/2 = √b₁·(√a₁ + √b₁ - √c)/2

r₁/r = √a₁/√c
r₂/r = √b₁/√c

Так как длины радиусов - целые числа, то с, a₁ и b₁ должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)
Тогда,

r₁/r = 3/5
r₂/r = 4/5

Так как радиусы должны быть наименьшими, это 3, 4 и 5.

Comments

Ну вот смысл всегда в стороне. Логическая цепочка такая - три радиуса очевидно связаны пифагоровым соотношением )так как все три треугольника подобны, и их гипотенузы удовлетворяют теореме Пифагора(в двух случаях гипотенузы - это катеты исходного треугольника.) Раз ищется минимальное решение, то первый кандидат на решение - минимальная пифагорова тройка 3,4,5

---

Это предположение на самом деле говорит о треугольниках гораздо больше, чем кажется. 1) все они подобны этому треугольнику 2) у простейшего пифагорова тр-ка радиус вписанной окружности 1, то есть коэффициенты подобия 3, 4 и 5 (то есть сами образуют ту же тройку). Задача уже решена.

---

по сути надо лишь проверить, что такая тройка треугольников может образоваться при проведении высоты. Для этого достаточно, чтобы у "меньших" троек были бы совпадающие "катеты". Ну это уже элементарно.