11 класс, задача повышенной сложности. Вообще-то ничего сложного, но ответ у меня не...

$\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq4$

ограничения: $\displaystyle\left\{{{x^2-4x\neq0}\atop{\left\{{{x-3\ \textgreater \ 0}\atop{x-3\neq1}}\right}}\right\to\left\{{{\left\{{{x\neq0}\atop{x\neq4}}\right}\atop{\left\{{{x\ \textgreater \ 3}\atop{x\neq4}}\right}}\right$ , следовательно, $x\in(3;4)(4;+\infty)$

решение:

$\log_{x-3}(x^2-4x)^2\leq4;~\log_{x-3}(x^2-4x)^2-4\leq0;~\log_{x-3}(x^2-4x)^2-\\-\log_{x-3}(x-3)^4\leq0;~(x-3-1)[(x^2-4x)^2-(x-3)^4]\leq0;~\\(x-4)[(x^2-4x)^2-(x^2-6x+9)^2]\leq0;~\\(x-4)(x^2-4x-x^2+6x-9)(x^2-4x+x^2-6x+9)\leq0;~\\(x-4)(2x-9)(2x^2-10x+9)\leq0$

до конца раскладываем на множители:

$(x-4)(x-\frac{9}{2})(x-\frac{5+\sqrt{7}}{2})(x-\frac{5-\sqrt{7}}{2})\leq0$

теперь метод интервалов, который дарит нам ответ на это неравенство: $x\in(3;\frac{5+\sqrt{7}}{2})(4;\frac{9}{2}]$

ОДЗ
{x-3>0⇒x>3
{x-3≠1⇒x≠4
{x²-4x≠0⇒x(x-4)≠0⇒x≠0 U x≠4
x∈(3;4) U (4;∈(3;4)
(x²-4x)²≥(x-3)^4
(x²-4x)²-(x-3)^4≥0
(x²-4x)²-(x²-6x+9)²≥0
(x²-4x-x²+6x-9)(x²-4x+x²-6x+9)≥0
(2x-9)(2x²-10x+9)≥0
2x-9=0⇒x=4,5
2x²-10x+9=0
D=100-72=28
x1=(10-2√7)/4=2,5-0,5√7 U x2=2,5+0,5√7
_ + _ +
/////////////////////////////// ////////////////////
----------------[2,5+0,5√7]-----(3)-------[2,5+0,5√7]------(4)--------[4,5]--------------
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈(3;2,5+0,5√7]
2)x∈(4;∞)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ //////////////////////////////////////
_ + _ +
----------------[2,5+0,5√7]-----(3)-------[2,5+0,5√7]------(4)--------[4,5]-----------
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈(4;4,5]
Ответ x∈(3;2,5+0,5√7] U (4;4,5]