7+77+777+7777+77777+......всего n раз повторяется помогите вычислить

Введем некоторые обозначения

$a_1 = 7\\ a_2 = 77\\ a_{n+1} = 10a_n+7$

Тогда искомая сумма будет представима как

$S_n = a_1+a_2+...+a_n$

Сделаем следующие преобразования

$10S_n = 10a_1+10a_2+10a_3+...+10a_n\\ 10S_n+7n = (10a_1+7)+(10a_2+7)+...+(10a_n+7) =\\ {}\qquad=a_2+a_3+...+a_{n+1}\\\\ 10S_n+7n - S_n = a_2+a_3+...+a_{n+1} - [a_1+a_2+...+a_n]=\\ {}\qquad=a_{n+1}-a_1 = a_{n+1}-7\\ 9S_n = a_{n+1}-7-7n$

Почти готово. Надо разобраться с $a_{n+1}$ . Заметим что

$a_{n+1} = 7(1+10+100+1000+...+10^{n}) = 7\frac{10^{n+1}-1}{9}$

А следовательно

$\displaystyle S_n = \frac{1}{9}\left[7\frac{10^{n+1}-1}{9}-7-7n\right] = \frac{7}{9}\left[\frac{10^{n+1}-1}{9}-n-1\right]$