Комплексные числа Упростить:

Перед упрощением заметим, что $i ^{2} =-1$ и $i ^{4} =+1$ .
Разобьём степени мнимой единицы кратно 4, 2 и, если останется, 1.

$\frac{2 i^{15}-3 i^{33}+2 i^{10}- i^{40} }{ i^{15}-3 i^{13}+4 i^{14}} = \frac{2 i^{12}i^{2}i-3 i^{32}i+2 i^{8}i^{2}- i^{40} }{i^{12}i^{2}i-3 i^{12}i+4 i^{12}i^{2}} =\frac{-2i-3i-2-1}{-i-3i-4} = \frac{-3-5i}{-4-4i} =\frac{3+5i}{4+4i}$

Избавимся от знаменателя, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на (4-4i).

$\frac{3+5i}{4+4i}=\frac{(3+5i)(4-4i)}{(4+4i)((4-4i)}=\frac{12-12i+20i+20}{16+16}= \frac{32+8i}{32} =1+0,25i$