При x->+∞ имеем неопределённость ∞/∞. Пределы легко берутся, если числитель и знаменатель делить на одинаковую степень икса (в каждом случае своя).
1. Разделим числитель и знаменатель на икс. В числителе икс придётся заносить под квадратный корень:
(Числитель)/x = (√(x^4 - 1) + 1)/x = √(x^4 - 1) /x + 1/x =
= √((x^4 - 1)/x^2) + 1/x = √(x^2 - 1/x^2) + 1/x
Теперь, если икс устремить в плюс бесконечность, то увидим, что
1/x^2 -> 0; 1/x -> 0. Останется только √(x^2 - 0) + 0 = √x^2 = x.
Итак, после проделанных действий видно, что Числитель по-прежнему стремится к бесконечности. Но мы ещё не разделили на икс знаменатель:
(Знаменатель)/x = (2x + 1)/x = 2 + 1/x. При х -> ∞ к нулю стремится 1/х ->∞. Останется только (2 + 0) = 2. Вот мы и избавились от бесконечности в знаменателе. В итоге бесконечность делится на 2, что всё равно будет бесконечность.
Предел равен бесконечности.
√(x^4 - 1)/x + 1/x √(x^4 / x^2 - 1/x^2) + 1/x
lim ------------------------ = lim --------------------------------- =
2x / x + 1/x 2 + 1/x
√(x^2 - 1/x^2) + 1/x √(∞ - 0) + 0
lim -------------------------- = ------------------ = +∞
2 + 1/x 2 + 0
2. Здесь числитель и знаменатель делим на x^2:
1/x^2 - 3x^2 / x^2 + x / x^2 1/x^2 - 3 + 1/x 0 - 3 + 0
lim ----------------------------------- = lim -------------------- = ------------ = 3
1/x^2 - x^2 / x^2 1/x^2 - 1 0 - 1
Здесь сразу вместо икса подставлена бесконечность.
3. Числитель и знаменатель делим на икс:
1/x - x^8 / x 1/x - x^7 0 - ∞
lim ---------------- = lim ------------ = --------- = -∞
1/x + x / x 1/x + 1 0 + 1
4. Числитель и знаменатель делим на корень из икса:
√(x+1) / √x + 2/√x √(x/x + 1/x) + 2/√x √(1+1/x) + 2/√x
lim ------------------------ = lim -------------------------- = lim ---------------------- =
1/√x + √x / √x 1/√x + 1 1/√x + 1
√1 + 0
= ---------- = 1
0 + 1
Корень из бесконечности тоже бесконечность.
Как могли заметить, числитель и знаменатель делили на такую степень, чтобы избавиться от наивысшей степени в знаменателе.