Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику...

Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.

Решение:
Найдем уравнение касательной к графику функции
у=х/(2х — 1) в точке с абсциссой х₀=1.
Уравнение касательной записывается по формуле

y(x)=y'(x₀)(x-x₀)+y(x₀)

Найдем значение y(x₀)

y(x₀) = х₀/(2х₀ — 1)
Так как х₀=1, то
y(1) = 1/(2*1 — 1)=1
Найдем производную функции
$y'=( \frac{x}{2x-1} )'=\frac{x'(2x-1)-x(2x-1)'}{(2x-1)^2}=\frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2}=-\frac{1}{(2x-1)^2}$
Значение производной функции в точке x₀=1
y'(1)=-1/(2*1-1)²=-1
Запишем уравнение касательной

y =-(x-1)+1=-x+2
Данная прямая имеет две точки пересечения с осями координат
При х=0 у=2 и х=2 у=0
(0;2) и (2;0)
Найдем площадь треугольника через интеграл так как площадь фигуры ограничена прямой касательной с пределами интегрирования от х₁=0 до х₂=2
$S_{TP}= \int\limits^2_0 {(-x+2)} \, dx=(- \frac{x^2}{2}+2x) \left[\begin{array}{ccc}2\\0\end{array}\right]= - \frac{2^2}{2}+2*2=2$

Или найти площадь прямоугольного треугольника( так как оси координат имеют угол 90⁰) с катетами равными 2
S=(a*b)/2=2*2/2=2

Ответ: S=2