Найдите площадь ромба, если его периметр равен 2p, а сумма диагоналей равна m.

У ромба все стороны равны, поэтому сторона ромба равна:
$a = \dfrac{1}{4} \cdot 2p = 0,5p$
Пусть диагонали равны c и d. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда:
$0,25p^2 = 0,25c^2 + 0,25d^2 \\ \\ p^2 = c^2 + d^2 \\ \\ p^2 = c^2 + d^2 + 2cd - 2cd \\ \\ p^2 = (c + d)^2 - 2cd \\ \\ p^2 - (c + d)^2 = -2cd \\ \\ 2cd = (c + d)^2 - p^2 \\ \\ 2cd = (c + d - p)(c + d + p)$

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Заменим сумму c + d на m и получим:

$S = \dfrac{1}{4} \cdot 2cd = \dfrac{1}{4} (m - p)(m + p) = \dfrac{1}{4}(m^2 - p^2)$

Ответ: S = 0,25(m² - p²).