Помогите пожалуйста решить 4 вариант. Лимиты 11 класс

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Неопределённость С/оо=0
1а) $\lim_{x \to \infty} \frac{-98}{x} =0$

1б) $\lim_{x \to \infty} (3+ \frac{470}{13 x^{2}})=\lim_{x \to \infty} 3+ \lim_{x \to \infty}\frac{470}{13 x^{2}}=3+0=3$

1в) $\lim_{x \to \infty} \frac{6x-17}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{6x+21-38}{2x+7} =\lim_{x \to \infty} \frac{3(x+7)-38}{2x+7} =$
$=\lim_{x \to \infty} (3+\frac{-38}{2x+7}) =\lim_{x \to \infty} 3+\lim_{x \to \infty}\frac{-38}{2x+7}=3+0=3$

Неопределённость оо/оо. Раскрываем делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени.
2а) $\lim_{x \to \infty} \frac{12 x^{2} -9x+11}{18 x^{2} -3x-17} = \lim_{x \to \infty} \frac{12-9/x+11/ x^{2} }{18-3/x-17/x^{2}}=\frac{12-0+0}{18-0-0}} = \frac{2}{3}$

2б) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^{3}-13x+23}{4x^{2}+15x-21} = \lim_{x \to \infty} \frac{5-13/ x^{2} +23/ x^{3}}{4/x+15/x^{2}-21/x^{3}} = \frac{5-0+0}{0+0-0} = \frac{5}{0} =oo$

2в) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^{3}+2x^{2}}{10x^{4}+7x} = \lim_{x \to \infty} \frac{5/x+2/x^{2}}{10+7/x^{3} } = \frac{0+0}{10+0} = \frac{0}{10}=0$

Неопределённость 0/0. Раскрываем разложением на множители и сокращением подобных.
3а) $\lim_{x \to \inft-3} \frac{x^{2}-9}{x+3} = \lim_{x \to \inft-3} \frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = \lim_{x \to \inft-3} (x-3)=-6$

3б) $\lim_{x \to \inft1} \frac{ x^{2} -7x+6}{ x^{2} +5x-6} = \lim_{x \to \inft1} \frac{(x-1)(x-6)}{(x-1)(x+6)} =\lim_{x \to \inft1} \frac{x-6}{x+6} = \frac{1-6}{1+6}= \frac{5}{7}$

3в) $\lim_{x \to \inft-2} \frac{ x^{2}-4x-12}{x^3+8} = \lim_{x \to \inft-2} \frac{(x+2)(x-6)}{(x+2)( x^{2} +2x+4)} =\lim_{x \to \inft-2} \frac{x-6}{x^{2} +2x+4} =$
$= \frac{-2-6}{(-2)^{2} +2*(-2)x+4} = \frac{-8}{4} =-2$

Используется первый замечательный предел.
4а) $\lim_{x \to \inft0} \frac{sin15x}{30x} = \lim_{x \to \inft0} \frac{1}{2} \frac{sin15x}{15x}= \frac{1}{2}*1= \frac{1}{2}$

4б) $\lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x}{tg3x}= \lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x*cos3x}{sin3x}=\lim_{x \to \inft0} cos3x*\lim_{x \to \inft0} \frac{sin9x}{sin3x}=$
$1*\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{sin9x}{x} }{ \frac{sin3x}{x} }=\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{9sin9x}{9x} }{ \frac{3sin3x}{3x} }=$ $= \frac{9*1}{3*1} = \frac{1}{3}$

Используется второй замечательный предел.
4в) $\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{4x})^x$
Пусть $t= \frac{1}{4x}$ , тогда t→0 и $x= \frac{1}{4t}$
Делаем замену
$\lim_{t \to \infty} (1+t)^{ \frac{1}{4t}} =( \lim_{t \to \inft0} (1+t)^{ \frac{1}{t}}) ^{ \frac{1}{4} } = e^{ \frac{1}{4} }$

4г) $\lim_{x \to \inft0} (1-3x) ^{ \frac{1}{x} }$
Пусть t=-3x, тогда t→0 и x=-t/3
Делаем замену
$\lim_{t \to \inft0} (1+ t)^{ \frac{1}{-t/3}}= \lim_{t \to \inft0} (1+ t)^{ \frac{-3}{t}}=$
$= (\lim_{t \to \inft0} (1+ t)^{ \frac{1}{t}})^{-3} = e^{-3}$

AssignFile_zn (43.0k баллов) 16 Май, 18