Прошу помочь решить данную задачку с пределом.

Question 1

Question 2

Рекуррентное соотношение имеет вид $\tau_{h+1}=q\tau_h$ , при этом $\tau_1\ne0$ . Известно, что решение этого уравнения - геометрическая прогрессия с знаменателем q. Геометрическая прогрессия имеет предел, если q берется из промежутка (-1, 1].

$\begin{cases}-18\tau^2+16\tau-1\ \textgreater \ -1\\-18\tau^2+16\tau-1\leqslant1\end{cases}\;\Leftrightarrow\;\begin{cases}9\tau^2-8\tau\ \textless \ 0\\9\tau^2-8\tau+1\geqslant0\end{cases}$

Решение первого неравенства:
$9\tau^2-8\tau\ \textless \ 0\\ 9\tau\left(\tau-\dfrac89\right)\ \textless \ 0\\ \tau\in\left(0,\dfrac89\right)$

Решение второго неравенства:
$9\tau^2-8\tau+1\geqslant0\\ (3\tau)^2-2\cdot3\tau\cdot\dfrac43+\dfrac{16}9\geqslant\dfrac{16}{9}-1\\ \left(3\tau-\dfrac43\right)^2\geqslant\dfrac79\\ 3\tau\in\left(-\infty,\dfrac{4-\sqrt7}3\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{3},+\infty\right)\\ \tau\in\left(-\infty,\dfrac{4-\sqrt7}9\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{9},+\infty\right)$

Решение системы - пересесение множеств решений неравенств.
$\boxed{\tau\in\left(0,\dfrac{4-\sqrt7}9\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{9},\dfrac89\right)}$

nelle987_zn · Answer 1 · 2018-05-16T01:48:29+0000

Рекуррентное соотношение имеет вид $\tau_{h+1}=q\tau_h$ , при этом $\tau_1\ne0$ . Известно, что решение этого уравнения - геометрическая прогрессия с знаменателем q. Геометрическая прогрессия имеет предел, если q берется из промежутка (-1, 1].

$\begin{cases}-18\tau^2+16\tau-1\ \textgreater \ -1\\-18\tau^2+16\tau-1\leqslant1\end{cases}\;\Leftrightarrow\;\begin{cases}9\tau^2-8\tau\ \textless \ 0\\9\tau^2-8\tau+1\geqslant0\end{cases}$

Решение первого неравенства:
$9\tau^2-8\tau\ \textless \ 0\\ 9\tau\left(\tau-\dfrac89\right)\ \textless \ 0\\ \tau\in\left(0,\dfrac89\right)$

Решение второго неравенства:
$9\tau^2-8\tau+1\geqslant0\\ (3\tau)^2-2\cdot3\tau\cdot\dfrac43+\dfrac{16}9\geqslant\dfrac{16}{9}-1\\ \left(3\tau-\dfrac43\right)^2\geqslant\dfrac79\\ 3\tau\in\left(-\infty,\dfrac{4-\sqrt7}3\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{3},+\infty\right)\\ \tau\in\left(-\infty,\dfrac{4-\sqrt7}9\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{9},+\infty\right)$

Решение системы - пересесение множеств решений неравенств.
$\boxed{\tau\in\left(0,\dfrac{4-\sqrt7}9\right]\cup\left[\dfrac{4+\sqrt7}{9},\dfrac89\right)}$