Прошу помочь решить задачу с пирамидой.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V= \frac{1}{3} So\cdot SO$ , где So - площадь основания, SO - высота пирамиды.

Поскольку шестиугольная пирамида правильна, то в основе лежит правильный шестиугольник, то сторона основания равен $\sqrt{ \dfrac{2S_o \sqrt{3} }{9} } = \sqrt{ \dfrac{2\cdot \frac{27 \sqrt{3} }{2} \cdot \sqrt{3} }{9} } =3$ . Тогда радиус вписанной окружности основания $r=\frac{1}{2} a \sqrt{3} =\frac{1}{2}3 \sqrt{3}$ .

Из прямоугольного треугольника SOK по т. Пифагора найдем высоту пирамиды SO, т.е. $SO= \sqrt{SK^2-OK^2} = \sqrt{( \frac{1}{2} \sqrt{283})^2-( \frac{1}{2} 3\sqrt{3} )^2 } =8$

Найдем объем пирамиды) $V= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{27\sqrt{3} }{2} \cdot8=36 \sqrt{3}.$

Ответ: $36 \sqrt{3}$