Разложить на простые дроби

Раскладываем знаменатель на множители по формуле разности кубов:
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

Попробуем выделить у дроби слагаемое вида: A / (x - 1):
$\dfrac x{(x-1)(x^2+x+1)}=\dfrac A{x-1}+\cdots$

Домножаем на (x - 1):
$\dfrac x{x^2+x+1}=A+(x-1)(\cdots)$

Подставляем x = 1. В этом случае второе слагаемое обратится в ноль, и в правой части останется только A.
$A=\dfrac{1}{1^2+1+1}=\dfrac13$

Найдём, что скрывается за многоточиями.
$\cdots=\dfrac x{(x-1)(x^2+x+1)}-\dfrac{1/3}{x-1}=\dfrac{x-(x^2+x+1)/3}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\=-\dfrac13\dfrac{x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}=-\dfrac13\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x^2+x+1)}=\\=-\dfrac13\dfrac{x-1}{x^2+x+1}$

Окончательно
$\dfrac x{x^3-1}=\dfrac{1/3}{x-1}-\dfrac{\frac13(x-1)}{x^2+x+1}$

Представим дробь в виде $\dfrac{x}{x^3-1} = \dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}$ . Сводим к общему знаменателю, т.е. $\dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \dfrac{A(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+ \dfrac{(Cx+D)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

После того как мы свели к общему знаменателю, то данное выражение можно записать так $x=A(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)$ (1)

Метод неопределённых коэффициентов.
Выбираем любое значение х. Допустим х=1, подставив в (1), получаем уравнение $1=3A$ . Возьмем теперь х=0, получаем $0=A-D$ . Ну и последнее можно взять х=-1, т.е. $-1=A+2C-2D$ .

Решив систему уравнений $\begin{cases} & \text{ } 3A=1 \\ & \text{ } A-D=0 \\ & \text{ } A+2C-2D=-1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } A= \frac{1}{3} \\ & \text{ } D= \frac{1}{3} \\ & \text{ } C=- \frac{1}{3} \end{cases}$

Подставив значения A, C,D в (1), получаем разложение на простые дроби, т.е. $\dfrac{x}{x^3-1}= \dfrac{\frac{1}{3}}{x-1}+ \dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}x}{x^2+x+1}$

Разложить ** простые дроби