Помогите, кто-нибудь решить эти три примера (один ** производную, а два ** интегралы)....

0 голосов
49 просмотров

Помогите, кто-нибудь решить эти три примера (один на производную, а два на интегралы). Буду очень признательна! :)

image
Алгебра (31 баллов) | 49 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Решите задачу:

1)\; \; y=\sqrt[x]{x^{n}}\; \; \to \; \; \; y=x^{\frac{n}{x}}\\\\lny=ln(x^{\frac{n}{x}})\; \; \to \; \; \; lny= \frac{n}{x}\cdot lnx\; \; \to \; \; (lny)'=( \frac{n}{x}\cdot lnx )'\\\\ \frac{y'}{y}= -\frac{n}{x^2}\cdot lnx+\frac{n}{x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{n}{x^2}\cdot (1-lnx)\\\\y'=y\cdot \frac{n}{x}\cdot (1-lnx)\\\\y'=\sqrt[x]{x^{n}}\cdot \frac{n}{x}\cdot (1-lnx)

2)\; \; \int \frac{x\cdot lnx\, dx}{(1+x^2)^2} =\Big [u=lnx\; ,\; du=\frac{dx}{x},\; dv= \frac{x\, dx}{(1+x^2)^2}\; ,\\\\v= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2x\cdot dx}{(\underbrace {1+x^2}_{t})^2}= \frac{1}{2}\cdot \int \frac{dt}{t^2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{-1}{t}=- \frac{1}{2(1+x^2)} \; \Big ]=\\\\=- \frac{lnx}{2(1+x^2)}+\int \frac{dx}{2x(1+x^2)} =I\\\\ \frac{1}{x(1+x^2)}= \frac{A}{x}+ \frac{Bx+C}{1+x^2}= \frac{A(1+x^2)+x(Bx+C)}{x(1+x^2)} \\\\1=A+Ax^2+Bx^2+Cx=x^2(A+B)+Cx+A\cdot x^0\\\\x^2\; |\; A+B=0

x\; |\; \; C=0\\\\x^0\; |\; A=1\; \; ,\; \; \; B=-A=-1\\\\I=- \frac{lnx}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}\cdot \int (\frac{1}{x} -\frac{x}{1+x^2})dx=\\\\=-\frac{lnx}{2(1+x^2)} +\frac{1}{2}\cdot \int \frac{dx}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\int \frac{2x\, dx}{1+x^2}=\Big [\int \frac{2x\, dx}{1+x^2}=\int \frac{dt}{t}=ln|t|+C_1 \Big ]=\\\\= - \frac{lnx}{2(1+x^2)} +\frac{1}{2}\cdot ln|x|-\frac{1}{4}\cdot ln|1+x^2|+C

3)\; \; \int \frac{dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}=I\\\\\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+ \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}\\\\x=-1:\; \; A= \frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}\\\\x=-2:\; \; B= \frac{1}{-1\cdot 1}=-\frac{1}{2} \\\\x=-3:\; \; C= \frac{1}{-2\cdot (-1)} =\frac{1}{2}\\\\I=\int \Big ( \frac{1}{2(x+1)} -\frac{1}{2(x+2)} +\frac{1}{2(x+3)} \Big )dx=

= \frac{1}{2}\cdot \Big (ln|x+1|-ln|x+2|+ln|x+3|+lnC\Big )=\\\\= \frac{1}{2}\cdot ln \frac{|x+1|\cdot |x+3|\cdot C}{|x+2|} =\frac{1}{2}\cdot ln \Big |\frac{C(x^2+4x+3)}{x+2}\Big |
(831k баллов)
Похожие задачи