Решить уравнение x(3^x+2)=3(1-3^x)-x^2

Question 1

Question 2

$x(3^x + 2) = 3(1 - 3^x) - x^2 \\ \\ x \cdot 3^x + 2x = 3 - 3 \cdot 3^x - x^2 \\ \\ x \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = -x^2 - 2x + 3 \\ \\ 3^x(x + 3) = -(x^2 + 2x - 3) \\ \\ 3^x(x + 3) + (x^2 + 2x + 1 - 4) = 0 \\ \\ 3^x(x + 3) + ((x + 1)^2 - 2^2) = 0 \\ \\ 3^x(x + 3) + (x - 1)(x + 3) = 0 \\ \\ (3^x + x - 1)(x + 3) = 0$

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 3 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ and \ \ \ \ \ 3^x + x - 1 = 0 \\ \\ x = -3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ and \ \ \ \ \ \ \ 3^x = 1 - x$
Пусть $y = 3^x$ и $t = 1 - x$ . Первая функция возрастает на всей своей области определения, а вторая монотонно убывает. Значит, графики функций пересекаются в одной точке.
Подбором находим, что x = 0.
(Можно построить график и убедиться в этом)

Ответ: $x = -3; \ 0.$

Dимасuk_zn · Answer 1 · 2018-05-16T02:10:49+0000

$x(3^x + 2) = 3(1 - 3^x) - x^2 \\ \\ x \cdot 3^x + 2x = 3 - 3 \cdot 3^x - x^2 \\ \\ x \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = -x^2 - 2x + 3 \\ \\ 3^x(x + 3) = -(x^2 + 2x - 3) \\ \\ 3^x(x + 3) + (x^2 + 2x + 1 - 4) = 0 \\ \\ 3^x(x + 3) + ((x + 1)^2 - 2^2) = 0 \\ \\ 3^x(x + 3) + (x - 1)(x + 3) = 0 \\ \\ (3^x + x - 1)(x + 3) = 0$

Произведение множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x + 3 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ and \ \ \ \ \ 3^x + x - 1 = 0 \\ \\ x = -3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ and \ \ \ \ \ \ \ 3^x = 1 - x$
Пусть $y = 3^x$ и $t = 1 - x$ . Первая функция возрастает на всей своей области определения, а вторая монотонно убывает. Значит, графики функций пересекаются в одной точке.
Подбором находим, что x = 0.
(Можно построить график и убедиться в этом)

Ответ: $x = -3; \ 0.$