** доске записаны числа 1, 2, 4, 8, …, 2^10. Разрешается стереть любые два числа и...

Question

На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, …, 2^10. Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них частное от деления их произведения на их сумму. Это действие проделывается, пока на доске не останется одно число. Какое наибольшее число может получиться? Представьте это число в виде несократимой дроби с положительным знаменателем. В ответ запишите сумму числителя и знаменателя.

Answer 1

На каждом шаге сумма обратных величин ко всем элементам  последовательности остается неизменной. Действительно, если a и b - два числа над которыми делают действие из условия, то их сумма обратных равна 1/a+1/b=(a+b)/(ab). После операции числа а и b заменятся на число ab/(a+b). Обратное к нему как раз равно (a+b)/(ab), т.е. общая сумма всех обратных остается неизменной. Итак, последнее число всегда равно 1/(1+2⁻¹+2⁻²+...+2⁻¹⁰)=2¹⁰/(2¹¹-1)=1024/2047.
Значит, ответ: 1024+2047=3071.