Помогите, пожалуйста, решить уравнения.

Question 1

Question 2

В первом примере sin^2(x)?

Question 3

нет

Question 4

А что? Первая функция какая? Там нет аргумента...

Question 5

Я не знаю) Это скриншот задания)

Question 6

хотя да, там х

Question 7

помогите, пожалуйста, решить

Question 8

Решите задачу:

$1)\; \; sin^2x(sinx+3cosx)+cos^2x(cosx+3sinx)+2sinx(1-3cosx)+\\\\+2cosx(1-3sinx)=3\\\\\underbrace {sin^3x+3sin^2x\, cosx+cos^3x+3sinx\, cos^2x}_{(sinx+cosx)^3}+\underline {2sinx}-6sinx\,cosx+\underline {2cosx}-\\\\-6sinx\, cosx=3\\\\(sinx+cosx)^3+2(sinx+cosx)-12sinx\, cosx=3$

$\star \; \; \; t=sinx+cosx\; ,\\\\ t^2=(sinx+cosx)^2=\underbrace {sin^2x+cos^2x}_{1}+2sinx\, cosx=1+2sinx\, cosx\\\\\Rightarrow \; \; \; sinx\, cosx=\frac{t^2-1}{2}\; \; \star \\\\t^3+2t-6(t^2-1)=3\\\\t^3-6t^2+2t+3=0\; ,\; \; (t=1\; \; -\; \; koren)$

$t^3-6t^2+2t+3=(t-1)(t^2-5t-3)=0\\\\a)\; \; t_1=1\; \; \Rightarrow \; \; sinx+cosx=1\; |:\sqrt2\\\\ \frac{1}{\sqrt2}\cdot sinx+ \frac{1}{\sqrt2}\cdot cosx=\frac{1}{\sqrt2}\; \; ,\; \; \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} \\\\sin\frac{\pi}{4}\cdot sinx+cos\frac{\pi}{4}\cdot cosx=\frac{\sqrt2}{2}\\\\cos(x-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt2}{2}\\\\x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z\\\\\boxed {x= \frac{\pi}{4}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n}= \left [ {{2\pi n,\; n\in Z} \atop {\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in Z}} \right.$

$b)\; \; t^2-5t-3=0\\\\D=25+4\cdot 3=37\\\\t_2= \frac{5-\sqrt{37}}{2}\approx -0,541\\\\sinx+cosx= \frac{5-\sqrt{37}}{2}\; |:\sqrt2\\\\cos(x-\frac{\pi}{4})= \frac{5-\sqrt{37}}{2\sqrt2} \\\\x-\frac{\pi}{4}=\pm arccos \frac{5-\sqrt{37}}{2\sqrt2}+2\pi k,\; k\in Z\\\\\boxed {x= \frac{\pi }{4} \pm arccos\frac{5-\sqrt{37}}{2\sqrt2}+2\pi k\; ,\; k\in Z}$

$t_3=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\approx 5,541\\\\sinx+cosx= \frac{5+\sqrt{37}}{2} \; \; \; \Rightarrow \; \; \; cos(x-\frac{\pi}{4})= \frac{5+\sqrt{37}}{2\sqrt2} \ \textgreater \ 1\\\\net\; reshenij\; ,\; t.k.\; \; |cos\alpha |\leq 1$

$Otvet:\; \; x=\frac{\pi}{4}\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in Z\; \; ;\\\\x=\frac{\pi}{4}\pm arccos\frac{5-\sqrt{37}}{2\sqrt2}+2\pi k,\; k\in Z$

$2)\; \; 3cos^32x+11sin^22x-\frac{4(1-tg^2x)}{1+tg^2x}=11\\\\\star \; \; \frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}=\frac{1-\frac{sin^2x}{cos^2x}}{1+\frac{sin^2x}{cos^2x}} =\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x+cos^2x} = \frac{cos2x}{1} =cos2x\; \; \star \\\\3\cdot cos^32x+11\cdot \underbrace {sin^22x}_{1-cos^22x}-4\cdot cos2x-11=0\\\\3\, cos^32x-11\, cos^22x-4\, cos2x=0\\\\t=cos2x\; ,\; \; \; 3t^3-11t^2-4t=0\\\\t\cdot (3t^2-11t-4)=0$

$a)\; \; t_1=0\; \; \Rightarrow \; \; cos2x=0\; ,\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in Z\\\\\boxed {x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z}$

$b)\; \; 3t^2-11t-4=0\; ,\; \; \; D=121+48=169\; ,\\\\t_1= \frac{11-13}{6}=-\frac{1}{3} \; \; \to \; \; \; cos2x=-\frac{1}{3}\\\\2x=\pm arccos(-\frac{1}{3})+2\pi k,\; k\in Z\\\\2x=\pm (\pi -arccos\frac{1}{3})+2\pi k,\; k\in Z\\\\\boxed {x=\pm \frac{1}{2}\cdot (\pi -arccos \frac{1}{3})+\pi k,\; k\in Z }\\\\t_2= \frac{11+13}{6}=4\; \; \to \; \; \; cosx2x=4\ \textgreater \ 1\; -\; \; net\; reshenij \\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\; ,\; n\in Z\; ;\; \; x=\pm \frac{1}{2}\cdot (\pi -arccos\frac{1}{3})+\pi k,\; k\in Z\; .$