1.
1) z2+z3=1+i+7-9i=(1+7)+(i-9i)=8-8i;
z1*(z2+z3)=(4+5i)(8-8i)=4*8+5*8+i(5*8-4*8)=32+40+i(40-32)=72+8i;
z1*(z2+z3)/z2=(72+8i)/(1+i)=((72+8i)(1-i))/((1+i)(1-i))=
=((72*1+8*1)+i(8-72))/(1+1)=(80-64i)/2=40-32i.
2) z1=√3+i;
Тригонометрическая форма:
r=√((√3)²+1²)=√(3+1)=√4=2;
cosα=√3/2⇔α=π/6;
sinα=1/2⇔α=π/6;
z1=2(cosπ/6+i*sinπ/6).
Показательная форма:
z1=2e^(i*π/6)
z2=-1+√3i;
Тригонометрическая форма:
r=√((-1)²+(√3)²)=√(1+3)=√4=2;
cosα=-1/2⇔α=2π/3;
sinα=√3/2⇔α=2π/3;
z2=2(cos2π/3+i*sin2π/3).
Показательная форма:
z2=2e^(i*2π/3).
z3=-1/2;
Тригонометрическая форма:
r=√((-1/2)²+0²)=√(1/4)=1/2;
cosα=-1/2/1/2=-1⇔α=π;
sinα=0/1/2=0⇔α=π;
z3=1/2(cosπ+i*sinπ).
Показательная форма:
z3=1/2e^(i*π).
2.
1) z2*z3=(1-i)(9+13i)=(1*9+1*13)+i(13-9)=22+4i;
z1+z2*z3=4+8i+22+4i=(4+22)+(8i+4i)=26+12i;
(z1+z2*z3)/z2=(26+12i)/(1-i)=((26+12i)(1+i))/((1-i)(1+i))=
(26*1-12*1+i(12+26))/(1+1)=(14+38i)/2=7+19i.
2) z²-i=0;
z²=i;
z=√i;
r=1;
cosα=0⇔α=π/2;
sinα=1⇔α=π/2;
i=1(cosπ/2+i*sinπ/2);
По формуле Муавра:
u(k)=√1(cos((π/2+2πk)/2)+i*sin ((π/2+2πk)/2))=cos(π/4+πk)+i*sin(π/4+πk)),
k=0, 1;
u(0)=cosπ/4+i*sinπ/4=√2/2+i*√2/2=(1+i)/√2;
u(1)=cos(π/4+π)+i*sin(π/4+π)=cos5π/4+i*sin5π/4=-√2/2-i*√2/2=-(1+i)/√2.
Ответ: +-(1+i)/√2.
3.
1) z1²=(2-i)(2-i)=2*2-1*1+i(-2-2)= 4-1-4i=3-4i;
z1²+z2=3-4i+(-1+2i)=(3-1)+(2i-4i)=2-2i;
z1²+z2+z3=2-2i+8+12i=(2+8)+(12i-2i)=10+10i;
(z1²+z2+z3)/z2=(10+10i)/(-1+2i)=((10+10i)(-1-2i))/((-1+2i)(-1-2i))=
=(-10+20+i(-10-20))/(1+4)=(10-30i)/5=2-6i - с ответом не совпадает???
2) z1=2/(1+i)=(2(1-i))/((1+i)(1-i))=(2-2i)/(1+1)=(2-2i)/2=1-i;
Тригонометрическая форма:
r=√(1²+1²)=√2;
cosα=1/√2=√2/2⇔α=-π/4;
sinα=-1/√2=-√2/2⇔α=-π/4;
z1=√2(cos(-π/4)+i*sin(-π/4)).
Показательная форма:
z1=√2e^(-π/4*i).
z2=-√3-i;
Тригонометрическая форма:
r=√(3+1)=2;
cosα=-√3/2⇔α=-5π/6;
sinα=-1/2⇔α=-5π/6;
z2=2(cos(-5π/6)+i*sin(-5π/6)).
Показательная форма:
z2=2e^(-5π/6*i).