Обозначим через p(n) произведение всех цифр натурального числа n. Вычислите...

Ясно, что если хотя бы одна цифра числа n равна нулю, то p(n)=0. В первый раз p(n) не равно нулю, когда n=1111, в последний раз - когда n=1999. Отбрасывая числа с нулями, сводим задачу к следующей:

Найти $\sum\limits_{i,j,k=1}^9i j k.$

Имеется в виду, что i - число тысяч, j - число десятков, k - число единиц числа (число десятков тысяч всегда равно 1 и поэтому не учитывается). Преобразуем:

$\sum\limits_{i,j,k=1}^9ijk=\sum\limits_{i=1}^9\left(i\cdot\sum\limits_{j,k=1}^9 jk\right)=\left(\sum\limits_{i=1}^9i\right)\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^9j\right) \cdot\left(\sum\limits_{k=1}^9k\right)=$

$45\cdot 45\cdot 45=91125$ .

Кто не разобрался со знаками суммирования, разберу пример с

$\scriptstyle\sum\limits_{i,j,k=1}^2ijk=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot 1+1\cdot 2 \cdot 2+2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 2\cdot 1+ 2\cdot 2\cdot 2=$

$\scriptstyle =1(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)+2(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=(1+2)(1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 1+2\cdot 2)=$

$\scriptstyle =(1+2)\left[1(1+2)+2(1+2)\right]=(1+2)(1+2)(1+2)=27$

Ответ: 91125