Математический анализ Граница lim x→0 (8x^2)/(sin^2 (5x))

Неопределённость 0/0. В данном случае раскрытие неопределённости сведём к первому замечательному пределу.

$\lim_{x \to \inft0} \frac{8 x^{2} }{sin^{2} 5x} =8 \lim_{x \to \inft0} (\frac{x}{sin 5x} )^{2}=8 \lim_{x \to \inft0} (\frac{5x}{5sin 5x} )^{2}=$

$=8 \lim_{x \to \inft0} \frac{1}{25} (\frac{5x}{sin 5x} )^{2}= \frac{8}{25} \lim_{x \to \inft0} (\frac{5x}{sin 5x} )^{2}=\frac{8}{25} (\lim_{x \to \inft0} \frac{5x}{sin 5x} )^{2}=$

$=\frac{8}{25} (\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{ \frac{sin 5x}{5x}})^{2}=\frac{8}{25} (\frac{1}{\lim_{x \to \inft0} \frac{sin 5x}{5x}})^{2}=\frac{8}{25} (\frac{1}{1} )^2=\frac{8}{25}$