Tgx+tg2x+tg3x=0 Прошу подробное решение

Question

Tgx+tg2x+tg3x=0
Прошу подробное решение

Answer 1

Tgx + tg2x + tg3x = 0
Sin3x/(CosxCos2x) + tg3x=0
Sin3x/(CosxCos2x)  + Sin3x/Cos3x = 0
Sin3x(1/(CosxCos2x) + 1/Cos3x) = 0
a) Sin3x = 0
3x = nπ, n ∈ Z
x = nπ/3, n∈Z
б) 1/(CosxCos2x) + 1/Cos3x=0
(Cos3x + CosxCos2x)/(CosxCos2xCos3x) = 0
составим систему:
Cos3x + CosxCos2x =0,⇒ 4Cos³x -3Cosx + CosxCos2x =0,      
CosxCos2xCos3x ≠ 0, ⇒ Cosx≠0, Cos2x≠ 0 , Cos3x ≠ 0
Теперь будем решать:
 4Cos³x -3Cosx + CosxCos2x =0
Cosx(4Cos²x -3 + Cos2x) = 0
Cosx = 0   или   4Cos²x -3 + Cos2x = 0
∅                         4Сos²x -3 + 2Cos²x - 1 = 0,                  
                           6Cos²x = 4
                           Cos²x = 2/3
                           Cosx = +-√6/3
                          1)  Cosx = √6/3                             
                          x = +-arcCos√6/3 + 2πk , k ∈Z 
                           2)  Сosx = -√6/3
                            x = +-arcCos(-√6/3) + 2πm, m ∈Z

Answer 2

Формула тангенса суммы: 
tg (x + y) = (tg x + tg y) / (1 - tg x tg y)

Отсюда tg x + tg y = tg(x +y) * (1 - tg x tg y)
Если положить x = y, получится формула тангенса двойного угла 
tg 2x = 2 tg x / (1 - 2 tg^2 x)

Преобразуем выражение в левой части:
tg x + tg 2x + tg 3x = tg 3x * (1 - tg x tg 2x) + tg 3x = tg 3x (2 - tg x tg 2x) = tg 3x * (2 - tg x * 2 tg x / (1 - tg^2 x)) = 2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / (1 - tg^2 x)

2 tg 3x * (1 - 2 tg^2 x) / ( 1 - tg^2 x) = 0
tg 3x = 0 или 1 - 2 tg^2 x = 0
3x = πk, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z
x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z

При таких x все тангенсы существуют, посторонних корней не появилось.

Ответ. x = πk/3, k ∈ Z или x = πn +- arctg 1/√2, n ∈ Z