Найдите прямоугольник наибольшей площади с периметром 20. В ответе укажите значение...

Пусть $x$ и $y$ - стороны прямоугольника.
$S=xy$ - площадь прямоугольника.
$P=2(x+y)$ - периметр прямоугольника.

По условию, Р=20, т.е. $2(x+y)=20$ откуда $x+y=10$ . Выразим переменную y, т.е. $y=10-x$ .

Подставив в площадь прямоугольника, получим $S=x(10-x)=10x-x^2$
Рассмотрим функцию $S(x)=10x-x^2$ и найдем наибольшее значение на отрезке [0;10]
Производная функции равна: $S'(x)=(10x-x^2)'=10-2x.$ . Приравняв производную функции к нулю, получим $10-2x=0$ откуда $x=5$

Найдем значение функции на концах отрезка
$S(0)=10\cdot0-0^2=0;\\ S(5)=10\cdot5-5^2=25;\,\,\,\,\,\,\,\, -\max\\ S(10)=10\cdot10-10^2=0$

Тогда у = 10 - х = 10 - 5 = 5.

Искомая площадь : $S=5\cdot 5=25$

Ответ: 25.