2.2. |x^2 - 3x - 18| + |23x - 46| = -x^2 + 3x + 18
1) x^2 - 3x - 18 = (x+3)(x-6)
Если x <= -3 U x >= 6, то x^2 - 3x - 18 >= 0; |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18
Если x ∈ (-3; 6), то x^2 - 3x - 18 < 0; |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18
2) 23x - 46 = 23(x - 2)
Если x < 2, то 23x - 46 < 0; |23x - 46| = 46 - 23x
Если x > 2, то 23x - 46 > 0; |23x - 46| = 23x - 46
Итак, рассматриваем промежутки:
1) x ∈ (-oo; -3); |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18; |23x - 46| = 46 - 23x
x^2 - 3x - 18 + 46 - 23x = -x^2 + 26x - 28
2x^2 - 26x - 26x + 28 + 28 = 0
2x^2 - 52x + 56 = 0
x^2 - 26x + 28 = 0
D/4 = 13^2 - 28 = 169 - 28 = 141
x1 = 13 - √141 ≈ 1,12 > -3 - не подходит
x2 = 13 + √141 > -3 - не подходит
2) x ∈ [-3; 2); |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18; |23x - 46| = 46 - 23x
-x^2 + 3x + 18 + 46 - 23x = -x^2 + 26x - 28
-20x - 26x = -28 - 64
-46x = -92
x = -92/(-46) = 2, но x < 2 - не подходит
3) x ∈ [2; 6); |x^2 - 3x - 18| = -x^2 + 3x + 18; |23x - 46| = 23x - 46
-x^2 + 3x + 18 + 23x - 46 = -x^2 + 26x - 28
26x - 28 = 26x - 28
Это верно при любом x ∈ [2; 6)
4) x ∈ [6; +oo); |x^2 - 3x - 18| = x^2 - 3x - 18; |23x - 46| = 23x - 46
x^2 - 3x - 18 + 23x - 46 = -x^2 + 26x - 28
2x^2 + 20x - 26x - 64 + 28 = 0
2x^2 - 6x - 36 = 0
x^2 - 3x - 18 = 0
(x + 3)(x - 6) = 0
Подходит только x = 6
Решение уравнения: x ∈ [2; 6]. Целые корни: 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ: 5 целых корней.
3.1. |x^2 - 3x - 10| + |x^2 - 7x + 10| = |20 - 4x|; x ∈ [0; 10]
-x^2 + 3x + 10 + x^2 - 7x + 10 = -4x + 20 = 20 - 4x
Запишем так:
|x^2 - 3x - 10| + |x^2 - 7x + 10| = |(-x^2 + 3x + 10) + (x^2 - 7x + 10)|
Если |a| + |b| = |-a + b|, то a и b имеют разные знаки, то есть ab <= 0<br>(x^2 - 3x - 10)(x^2 - 7x + 10) <= 0<br>(x - 5)(x + 2)(x - 5)(x - 2) <= 0<br>(x - 5)^2*(x + 2)(x - 2) <= 0<br>Решение: x1 = 5; x2 ∈ [-2; 2]
Целые корни: -2; -1; 0; 1; 2; 5
Ответ: 6 корней.